Come Calcolare Seno, Coseno e Tangente
Definizioni geometriche, formule fondamentali, tabella degli angoli notevoli e calcolatore interattivo istantaneo per le funzioni trigonometriche.
Calcolatore trigonometrico rapido
Definizione nel triangolo rettangolo
Dato un triangolo rettangolo con un angolo acuto α, definiamo:
- Seno di α: rapporto tra il cateto opposto ad α e l'ipotenusa:
sin(α) = Cateto Opposto / Ipotenusa - Coseno di α: rapporto tra il cateto adiacente ad α e l'ipotenusa:
cos(α) = Cateto Adiacente / Ipotenusa - Tangente di α: rapporto tra il cateto opposto e il cateto adiacente:
tan(α) = Cateto Opposto / Cateto Adiacente
Poiché l'ipotenusa è sempre maggiore di ciascun cateto, per gli angoli acuti valgono sempre le disuguaglianze 0 < sin(α) < 1 e 0 < cos(α) < 1.
Estensione alla circonferenza goniometrica
Per estendere le definizioni ad angoli maggiori di 90° e ad angoli negativi, la matematica ricorre alla circonferenza goniometrica (circonferenza con raggio unitario r = 1 centrata nell'origine degli assi cartesiani):
- Il punto
P(x, y)sulla circonferenza individuato dall'angolo α ha coordinate:x = cos(α)ey = sin(α). - Il seno corrisponde all'ordinata (asse y).
- Il coseno corrisponde all'ascissa (asse x).
- Per il Teorema di Pitagora sulle coordinate di P:
cos²(α) + sin²(α) = 1.
Tabella dei valori notevoli
| Angolo | Radianti | Seno (sin) | Coseno (cos) | Tangente (tan) |
|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 30° | π / 6 | 1/2 = 0,5 | √3 / 2 ≈ 0,8660 | √3 / 3 ≈ 0,5774 |
| 45° | π / 4 | √2 / 2 ≈ 0,7071 | √2 / 2 ≈ 0,7071 | 1 |
| 60° | π / 3 | √3 / 2 ≈ 0,8660 | 1/2 = 0,5 | √3 ≈ 1,7321 |
| 90° | π / 2 | 1 | 0 | Non definita (∞) |
Esempi pratici di calcolo
Esempio 1: Calcolare l'altezza di un albero con la trigonometria
Ti trovi a 20 metri di distanza dalla base di un albero e misuri un angolo di elevazione verso la cima di 30°. Quanto è alto l'albero?
Sappiamo che tan(α) = Altezza / Distanza, quindi:
Altezza = 20 × tan(30°) = 20 × (√3 / 3) ≈ 20 × 0,57735 ≈ 11,55 metri.
Esempio 2: Scomposizione di una forza in fisica
Una forza di 100 N agisce con un'inclinazione di 45° rispetto all'orizzontale. Calcoliamo la componente orizzontale Fx:
Fx = F × cos(45°) = 100 × (√2 / 2) ≈ 100 × 0,7071 = 70,71 N.
Esempio 3: Risoluzione di un triangolo con l'arcoseno
Se il rapporto tra cateto opposto e ipotenusa vale 0,5, qual è l'angolo?
α = arcsin(0,5) = 30° (oppure π/6 rad).
Domande frequenti (FAQ)
Qual è la relazione fondamentale della trigonometria?
La prima relazione fondamentale è sin²(α) + cos²(α) = 1, derivata direttamente dal Teorema di Pitagora applicato sulla circonferenza goniometrica con raggio unitario.
Come si calcola la tangente conoscendo seno e coseno?
La tangente è definita come il rapporto tra seno e coseno: tan(α) = sin(α) / cos(α), valida per tutti gli angoli in cui cos(α) ≠ 0 (quindi α ≠ 90° + k·180°).
Perché la tangente di 90° non esiste (è indefinita)?
A 90° (π/2 radianti) il coseno vale esattamente 0. Poiché tan(α) = sin(α) / cos(α) e la divisione per zero è un'operazione indefinita, la tangente non è definita a 90° e presenta un asintoto verticale.
Come si usano le funzioni inverse arcsin, arccos e arctan?
Le funzioni inverse (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ o asin, acos, atan) calcolano l'ampiezza dell'angolo a partire dal valore del rapporto trigonometrico. Ad esempio, se sin(α) = 0,5, arcsin(0,5) restituisce 30° (in modalità DEG) oppure π/6 rad (in modalità RAD).