Risolvi qualsiasi equazione quadratica nella forma standard ax² + bx + c = 0. Calcola istantaneamente il discriminante (Delta) e segui i passaggi per ricavare le radici reali.
Poiché Δ > 0, esistono due soluzioni reali distinte ricavate con la formula quadratica x = (−b ± √Δ) / 2a.
Risolvere x² − 5x + 6 = 0 (a = 1, b = −5, c = 6):
x₁,₂ = (5 ± √1) / 2 ➔ x₁ = 3 , x₂ = 2.
Risolvere x² − 4x + 4 = 0 (a = 1, b = −4, c = 4):
x = −(−4) / 2(1) ➔ x₁ = x₂ = 2 (soluzione doppia).
Risolvere x² + 2x + 5 = 0 (a = 1, b = 2, c = 5):
Essendo il discriminante negativo, non esistono soluzioni reali (radici nel campo complesso: −1 ± 2i).
Per qualsiasi equazione ax² + bx + c = 0 con a ≠ 0:
Δ = b² − 4acx₁,₂ = (−b ± √Δ) / (2a)x = −b / (2a)Δ/4 = k² − ac e x₁,₂ = (−k ± √(Δ/4)) / a.Geometricamente corrisponde a trovare i punti di intersezione della parabola di equazione y = ax² + bx + c con l'asse delle ascisse (y = 0). Se Δ > 0 la parabola interseca l'asse x in due punti; se Δ = 0 è tangente all'asse x; se Δ < 0 la parabola non tocca mai l'asse x.
In un'equazione spuria ax² + bx = 0 (termine noto c = 0), si raccoglie la x a fattor comune: x(ax + b) = 0. Per la legge di annullamento del prodotto, le due soluzioni sono immediatamente x₁ = 0 e x₂ = -b/a.
In un'equazione pura ax² + c = 0 (b = 0), si isola x²: x² = -c/a. Se -c/a ≥ 0, le soluzioni sono x = ±√(-c/a). Se -c/a < 0, non ammette soluzioni reali.
La somma delle due radici è pari a S = x₁ + x₂ = -b/a, mentre il prodotto delle radici è P = x₁ · x₂ = c/a. Queste relazioni permettono di verificare rapidamente la correttezza delle soluzioni.
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